Mie 和 Fraunhofer 衍射理论

只考虑电磁光谱的可见部分，光和物质的相互作用会产生四个与内在相关的散射现象。我们通过运用衍射、折射、反射和吸收四个词来区分这些现象。对上述每个部分使用一个句子定义，我们可以将衍射定义为光线在颗粒表面发生弯曲；折射是光线穿过物体及其周围介质之间的边界时发生的变化；反射是光从物体表面再回来；而吸收则是物体对光的衰减。图 1 描述了颗粒大小分析中常用的三种光散射现象（已省略反射 - 对于几乎所有细散材料，任何反射效果可以忽略不计）。

这些（看似截然不同的）散射现象在日常生活中并不少见。例如，镜像中的图像由光的反射生成。吸收是导致深色衣服在阳光下比白色或柔和的衣服更温暖的原因。一支铅笔的明显弯曲，半淹没在一杯水中，说明了一种折射效果；--我们对折射的理解也有助于我们构建矫正镜片。衍射的例子不太常见，但许多物理类中熟悉的演示都可以很容易地用激光和一张纸来重现，其中有一个小孔被切割成一个小孔。在这个实验中，光被开口的边缘“弯曲”（衍射），在一段距离的墙上或屏幕上形成一个规律的、交替的光和阴影图案。图 2 是球体产生的散射图案的图片。

Fraunhofer 衍射理论

19 世纪早期，Josef von Fraunhofer 对衍射进行了数学描述。在给定波长下，Fraunhofer 的理论预测散射最大和最小的角位置与颗粒大小成函数关系。

尽管 Fraunhofer 理论解释了这些光和明暗图案是如何产生的，但光的衍射是由光和物体的相互作用产生的现象，而物体本质上是二维的，如布片上的圆盘或洞。光与三维物体（如颗粒）的相互作用导致散射，这不仅仅是衍射的产物，也是光的折射和吸收的结果。从这个意义上说，Fraunhofer 的理论只是任何“现实世界”物体散射光问题的完整解决方案的近似值，因此，它在颗粒大小测试中的应用就必然局限于以下情况：a）颗粒相对于波长很大，b） 观察角度小，c） 颗粒不透明。

对于相对于波长较大的颗粒，Fraunhofer 几乎与完整的 Mie 理论在功能上是等效的。然而，随着颗粒的直径接近波长，折射和吸收的影响日益影响散射模式。Fraunhofer 的圆面物体的光衍射方程只能从波长、角度和颗粒直径（此直径是物体边缘之间的距离）来描述散射光的相对强度。然而事实上，光和三维物体的相互作用的描述必须考虑物体的材料属性，例如其折射率。

米氏理论

直到 James Clerk Maxwell 提出了建立电与磁之间基本关系的方程，一个完整的、严谨的光散射理论才成为了可能。今天，这个理论通常被称为 Mie 氏理论，以物理学家 Gustav Mie 于 1908 年的论文命名。该理论预测散射光的相对强度是和颗粒大小、观测角度以及入射光束的波长和极化成函数关系。该前提是已知颗粒平滑、球形、内部（光学）均质和已知折射率。Mie 氏理论必然包含Fraunhofer 的理论，因为它不仅描述了衍射的影响，而且还能够模拟光的折射、反射和吸收产生的散射（仅产生于光和三维物体的相互作用）。回到图1，现在应该可以明显看出，小颗粒的光散射不仅仅是通过衍射产生的，也是通过折射和吸收产生的。

然而，尽管 Mie 氏理论在近一百年前就已产生，但其在通过激光散射角模式测量解决球面粒度分布中的应用由于其数学复杂性而依旧不切实际。例如，要计算 100x100 的散射矩阵，即100个检测器和100 个粒径通道，在 20 世纪 90 年代初使用 IBM 兼容的 386 计算机需要将近一个小时才能得出结果。在计算能力不足的那个年代里，只能使用 Fraunhofer 近似值。如今，借助发达的计算机，相同的100x100 矩阵可以以几分之一秒计算，通过测量散射强度实时计算颗粒大小分布如今是可行的。因此，除非样品的折射率未知，否则没有理由在激光衍射技术中使用 Fraunhofer 近似值。特别是对于小于 25μm 的颗粒，使用 Fraunhofer 近似值会在检索到的颗粒大小中产生差距大且意外的错误。然而，由于上述历史原因，以及由于避免该技术与另一个静态光散射技术混淆，另一个静态光散射技术主要用于测量大分子分子量，所以该技术在整个行业中仍然被称为激光衍射。